第九届蓝桥杯省赛 C++ A组 - 付账问题

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问题描述

几个人一起出去吃饭是常有的事。

但在结帐的时候，常常会出现一些争执。

现在有 n 个人出去吃饭，他们总共消费了 S 元。

其中第 i 个人带了 ai 元。

幸运的是，所有人带的钱的总数是足够付账的，但现在问题来了：每个人分别要出多少钱呢？

为了公平起见，我们希望在总付钱量恰好为 S 的前提下，最后每个人付的钱的标准差最小。

这里我们约定，每个人支付的钱数可以是任意非负实数，即可以不是 1 分钱的整数倍。

你需要输出最小的标准差是多少。

标准差的介绍：标准差是多个数与它们平均数差值的平方平均数，一般用于刻画这些数之间的“偏差有多大”。

形式化地说，设第 i 个人付的钱为 bi 元，那么标准差为 :

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输入格式

第一行包含两个整数 n、S；

第二行包含 n 个非负整数 a1, …, an。

输出格式

输出最小的标准差，四舍五入保留 4 位小数。

数据范围

1≤n≤5×10⁵,
0≤ai≤10⁹,
0≤S≤10¹⁵。

输入样例1：

5 2333
666 666 666 666 666

输出样例1：

0.0000

输入样例2：

10 30
2 1 4 7 4 8 3 6 4 7

输出样例2：

0.7928

思路

由题可知，标准差的公式如下：

根据均值不等式：

可知 $x_1+x_2+...+x_n$ 等价于 $(b_1-s/n{)}^2+(b_2-s/n{)}^2+...+(b_n-s/n{)}^2$ ，又因为 $b_1+b_2+...+b_n=s$ 且 $s/n\ast n=s$，故 $b_1-s/n+b_2-s/n+...+b_n-s/n=s-s=0$。

所以我们可以得出如下结论：

1. 当 $a_i>=s/n$ 时，取平均数，这里可由上面等式推出。
2. 当 $a_i<s/n$ 时，$b_i=a_i$ 且 $b_i<a_i$，这里可由两个值的均值不等式推出（证明略）。

总的来说，就是如果带的钱够交总花费的平均数就至少交这个平均数；如果不够则有多少出多少，然后将平均数与其差值分摊到其他人身上即让别人帮你垫。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 500010;
int a[N];
int n;

int main()
{
    long double s;
    cin >> n >> s;
    for (int i = 0; i < n; i++)    scanf("%d", &a[i]);
    sort(a, a + n);    //对携带金额进行排序

    //钱多的人扶持钱少的人
    long double res = 0, avg = s / n;
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        long double cur = s / (n - i);
        if (a[i] < cur)    cur = a[i];
        res += (cur - avg) * (cur - avg);
        s -= cur;
    }

    //打印结果
    printf("%.4Lf\n", sqrt(res / n));

    return 0;
}