定义

  如果没学过线性代数，会认为矩阵的乘法就是对应的每个元素相乘，像矩阵的加法一样，这种乘法，就是阿达马积Hadamard product，也叫舒尔积Schur product..有些地方翻译为哈达玛积是翻译错误，因为阿达马是法国人，法语中H是不发音的。它的定义是一个小圆圈：
$$\begin{gathered} A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right) \\ B=\left(\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& \cdots & b_{1n}\\ b_{21}& b_{22}& \cdots & b_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ b_{m1}& b_{m2}& \cdots & b_{mn}\end{array}\right) \\ A\circ B=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}{b}_{11}& a_{12}{b}_{12}& \cdots & a_{1n}{b}_{1n}\\ a_{21}{b}_{21}& a_{22}{b}_{22}& \cdots & a_{2n}{b}_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}{b}_{m1}& a_{m2}{b}_{m2}& \cdots & a_{mn}{b}_{mn}\end{array}\right) \end{gathered}$$

舒尔积定理

  数学家们擅长找规律哈。舒尔马上就发现了方阵的行列式在阿达马积下的一个规律：
$$|A\circ B|\ge |A||B|$$
  也就是说阿达马积的行列式要大于等于各自的行列式的乘积。这个规律就叫做舒尔积定理Schur product theorem。

波利亚-塞戈定理

  波利亚-塞戈定理Pólya and Szegö theorem是关于阿达马积的特征值的。AB是两个半正定矩阵，所以他们的特征值都是大于等于0的，他们的特征值按从小到大排列，然后$A\circ B$的特征值的范围就确定了，大于等于各自最小特征值的乘积，小于等于各自最大特征值的乘积，也就是:
$${\lambda }_{min}(A){\lambda }_{min}(B)\le \lambda (A\circ B)\le {\lambda }_{max}(A){\lambda }_{max}(B)$$

python实现

  这种代码就非常简单了：

    def hadamard(self, other):
        array = copy.deepcopy(self.__lines)
        m = len(array)
        n = len(array[0])
        for i in range(0, m):
            for j in range(0, n):
                array[i][j] = array[i][j] * other.__lines[i][j]
        return Matrix(array)

numpy实现

  numpy就简单了，一个星号就可以了，以下是测试代码：

    def test(self):
        a = np.array(
            [[0, 2, -2], [-3, -4, 1], [-3, -2, -1]])
        b = np.array(
            [[0, 2, -2], [-3, -4, 1], [-3, -2, -1]])
        print("A=", a)
        print("B=", b)
        print("AB=", a * b)

&emsp 输出为：

A= [[ 0  2 -2]
 [-3 -4  1]
 [-3 -2 -1]]
B= [[ 0  2 -2]
 [-3 -4  1]
 [-3 -2 -1]]
AB= [[ 0  4  4]
 [ 9 16  1]
 [ 9  4  1]]