1 概述

1.1 计算机存储单位

在计算机内部，信息都是釆用 二进制（0 和 1） 的形式进行存储、运算、处理和传输的

1.2 机器数和真值

提醒：因为第一位是符号位，所以机器数的形式值就不等于真正的数值
例如：上面的有符号数 1000 0011，其最高位 1 代表负，其真正数值是 -3，而不是形式值 131， $\begin{array}{r}(10000011{)}_{10}=131\end{array}$

1.3 数值

2 有符号数

2.1 原码

• 原码：符号位 加上 真值 的绝对值，即：用第一位表示符号，其余位表示值
  • 比如：[+1]原= 0000 0001，[-1]原= 1000 0001
• 取值范围：除第一位符号位外，还余 7 位
  • [1111 1111 , 0111 1111] = [$-(2^7-1)$，$(2^7-1)$] = [-127 , 127]
• 特点：人脑最容易理解和计算的表示方式（机器数：计算机最容易理解）

2.2 反码 和 补码

思考：既然原码才是被人脑直接识别并用于计算表示方式，为何还会有反码和补码呢？

• 首先，因为人脑可以知道第一位是 符号位，在计算的时候会根据符号位，选择对 真值 区域进行加减。但是对于计算机，加减已经是最基础的运算，而辨别符号位会让计算机的基础电路设计变得十分复杂。
• 于是，人们想出了将符号位也参与运算的方法。根据运算法则可知：减去一个正数等于加上一个负数，即：1-1 = 1 + (-1) = 0， 所以机器可以只有加法而没有减法，这样计算机运算的设计就更简单了。
• 于是，人们开始探索将符号位参与运算，并且只保留加法的方法。

以下为 '原码、反码、补码' 运算时的区别

对于十进制的表达式：1 - 1 = 0

1. 对于 '原码': 
   1 - 1 
   = 1 + (-1) 
   = [0000 0001]原 + [1000 0001]原
   = [1000 0010]原
   = -2

显然对于减法来说，结果是不正确的。这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数。
* 为了解决 '原码' 做减法的问题， 出现了 '反码'：

2. 对于 '反码'
   1 - 1 
   = 1 + (-1) 
   = [0000 0001]原 + [1000 0001]原
   = [0000 0001]反 + [1111 1110]反
   = [1111 1111]反
   = [1000 0000]原
   = -0

发现用反码计算减法，结果的真值部分是正确的。
而唯一的问题就出现在 "0" 这个特殊的数值上，虽然人们理解上 +0 和 -0 是一样的，
但是 0 带符号是没有任何意义的，而且会有[0000 0000]原和[1000 0000]原两个编码表示0
* 为了解决 0 的符号以及两个编码问题，出现了 '补码'

3. 对于 '补码'
   1 - 1 
   = 1 + (-1) 
   = [0000 0001]原 + [1000 0001]原
   = [0000 0001]补 + [1111 1111]补
   = [1 0000 0000]补 -- 注意：进位 1 不在计算机字长里
   = [0000 0000]补
   = [0000 0000]原
   = 0

这样 0 用 [0000 0000] 表示，而以前出现问题的 -0 则不存在了。
而且可以用 [1000 0000] 表示 -128：-128的由来如下：

   (-1) + (-127) 
   = [1000 0001]原 + [1111 1111]原
   = [1111 1111]补 + [1000 0001]补
   = [1000 0000]补
   = -128

请注意：-128 没有 原码 和 反码表示方式（以前用 -0 表示 -128）
使用补码，不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题，而且还能够多表示一个最低数。
这就是为什么8位二进制，使用原码或反码表示的范围为[-127, +127]，
而使用补码表示的范围为[-128, 127]。