C++【图】
文章目录
- 一、什么是图
- 二、图的存储结构
- 1.邻接矩阵
- 2.邻接表
- 三、邻接表的代码实现
- 四、邻接矩阵的代码实现
- 五、图的相关属性
- 六、图的遍历
- 1.深度优先遍历
- 2.广度优先遍历
- 练习
- 七、最小生成树
- 1.Kruskal算法（克鲁斯卡尔算法）
- 2.prim算法
- 八、最短路径
- 1.Dijkstra算法
- 2.Bellman-Ford算法（贝尔曼福特算法）
- 3.Floyd-Warshall算法（弗洛伊德算法）
一、什么是图
图是由顶点集合及顶点间的关系组成的一种数据结构：G = (V， E)，其中：
顶点集合V = {x|x属于某个数据对象集}是有穷非空集合；
E = {(x,y)|x,y属于V}或者E = {<x, y>|x,y属于V && Path(x, y)}是顶点间关系的有穷集合，也叫
做边的集合。
(x, y)表示x到y的一条双向通路，即(x, y)是无方向的；Path(x, y)表示从x到y的一条单向通路，即Path(x, y)是有方向的。
顶点和边：图中结点称为顶点，第i个顶点记作vi。两个顶点vi和vj相关联称作顶点vi和顶点vj之间有一条边，图中的第k条边记作ek，ek = (vi，vj)或<vi，vj>。
有向图和无向图：在有向图中，顶点对<x, y>是有序的，顶点对<x，y>称为顶点x到顶点y的一条边(弧)，<x, y>和<y, x>是两条不同的边，比如下图G3和G4为有向图。在无向图中，顶点对(x, y)是无序的，顶点对(x,y)称为顶点x和顶点y相关联的一条边，这条边没有特定方向，(x, y)和(y，x)是同一条边，比如下图G1和G2为无向图。注意：无向边(x, y)等于有向边<x, y>和<y, x>
树是一种特殊的图（无环联通）
图不一定是树
树关注的节点（定点）中存在的值
图关注的是定点以及边的权值
树是一种存储性的数据结构，图是一种表示性的数据结构
二、图的存储结构
1.邻接矩阵
邻接矩阵的优点
1.邻接矩阵存储方式非常适合稠密图
2.邻接矩阵O（1）地判断两个顶点的连接关系，并取到权值。
邻接矩阵的缺点
1.不适合稀疏图
2.相对而言不适合查找一个顶点连接的所有边（O（N））
2.邻接表
（一般情况下，临界表存储一个出边表就可以了）
邻接表的优点
1.适合存储稀疏图
2.适合查找一个顶点连出去的边
3.不适合确定两个顶点是否相连以及权值
总结
邻接矩阵和邻接表其实属于相辅相成，各有优点和缺点。
三、邻接表的代码实现
namespace link_table
{
//创建边的结构
template<class W>
struct Edge
{
//int _srci;这里我们暂且不存源点的下标
int _dsti; // 目标点的下标
W _w; // 权值
Edge<W>* _next;//邻接表的链接指针
Edge(int dsti, const W& w)
:_dsti(dsti)
, _w(w)
, _next(nullptr)
{}
};
template<class V, class W, bool Direction = false>
class Graph
{
typedef Edge<W> Edge;
public:
Graph(const V* a, size_t n)
{
_vertexs.reserve(n);
for (size_t i = 0; i < n; ++i)
{
_vertexs.push_back(a[i]);
_indexMap[a[i]] = i;
}
_tables.resize(n, nullptr);
}
size_t GetVertexIndex(const V& v)
{
auto it = _indexMap.find(v);
if (it != _indexMap.end())
{
return it->second;
}
else
{
//assert(false);
throw invalid_argument("顶点不存在");
return -1;
}
}
void AddEdge(const V& src, const V& dst, const W& w)
{
size_t srci = GetVertexIndex(src);
size_t dsti = GetVertexIndex(dst);
// 1->2
Edge* eg = new Edge(dsti, w);
//头插法
eg->_next = _tables[srci];
_tables[srci] = eg;
// 2->1
// 如果是无向图的话，添加反向的路径
if (Direction == false)
{
Edge* eg = new Edge(srci, w);
eg->_next = _tables[dsti];
_tables[dsti] = eg;
}
}
void Print()
{
// 顶点
for (size_t i = 0; i < _vertexs.size(); ++i)
{
cout << "[" << i << "]" << "->" << _vertexs[i] << endl;
}
cout << endl;
for (size_t i = 0; i < _tables.size(); ++i)
{
cout << _vertexs[i] << "[" << i << "]->";
Edge* cur = _tables[i];
while (cur)
{
cout <<"["<<_vertexs[cur->_dsti] << ":" << cur->_dsti << ":"<<cur->_w<<"]->";
cur = cur->_next;
}
cout <<"[nullptr]"<<endl;
}
}
private:
vector<V> _vertexs; // 顶点集合
map<V, int> _indexMap; // 顶点映射下标
vector<Edge*> _tables; // 邻接表
};
void TestGraph1()
{
/*Graph<char, int, true> g("0123", 4);
g.AddEdge('0', '1', 1);
g.AddEdge('0', '3', 4);
g.AddEdge('1', '3', 2);
g.AddEdge('1', '2', 9);
g.AddEdge('2', '3', 8);
g.AddEdge('2', '1', 5);
g.AddEdge('2', '0', 3);
g.AddEdge('3', '2', 6);
g.Print();*/
string a[] = { "张三", "李四", "王五", "赵六" };
Graph<string, int, true> g1(a, 4);
g1.AddEdge("张三", "李四", 100);
g1.AddEdge("张三", "王五", 200);
g1.AddEdge("王五", "赵六", 30);
g1.Print();
}
}
四、邻接矩阵的代码实现
#pragma once
#include <vector>
#include <map>
//V表示的事我们点中的数据类型
// weight代表权重
//Direction表示是有向图还是无向图
namespace matrix
{
//我们这里默认是无向图
template<class V,class W ,W MAX_W=INT_MAX, bool Direction =false>
class Graph
{
public:
//图的创建
//1、IO输入 --不方便测试,oj中更适合
//2、图结构关系样例写到文件里，读取文件
//3.手动添加边（首先我们创建顶点，手动添加边）
Graph(const V*a,size_t n)
{
_vertex.reserve(n);
for(size_t i=0;i<n;++i)
{
_vertex.push_back(a[i]);
//通过顶点找下标
_indexmap[a[i]]=i;
}
_matrix.resize(n);
for(size_t i=0;i<_matrix.size();++i) {
//开辟n个大小，然后初始化每一个值都是MAX_W
_matrix[i].resize(n, MAX_W);
}
}
//确定顶点的下标
size_t GetVertexIndex(const V& v)
{
auto it=_indexmap.find(v);
//如果查找到了就返回下标
if( it!=_indexmap.end())
{
return it->second;
}else
{
// assert(false);
throw invalid_argument("顶点不存在");
//防止编译器检查
return -1;
}
}
void AddEdge(const V& src,const V&dst,const W& w)
{
size_t srci= GetVertexIndex(src);
size_t dsti= GetVertexIndex(dst);
_matrix[srci][dsti]=w;
//如果是无向图的话，我们需要添加双向的
if(Direction== false)
{
_matrix[dsti][srci]=w;
}
}
void Print()
{
//将顶点打印出来
for(size_t i=0;i<_vertex.size();++i)
{
cout<<"["<<i<<"]"<<"->"<<_vertex[i]<<endl;
}
cout<<endl;
//矩阵
//将横向的下标打印出来
cout<<" ";
for(size_t i=0;i<_vertex.size();++i)
{
cout<<i<<" ";
}
cout<<endl;
for(size_t i=0;i<_matrix.size();++i)
{
cout<<i<<" ";//将竖向的下标打印出来
for(size_t j=0;j<_matrix[i].size();++j)
{
// cout<<_matrix[i][j]<<" ";
if(_matrix[i][j]==MAX_W)
{
cout<<"* ";
}
else{
cout<<_matrix[i][j]<<" ";
}
}
cout<<endl;
}
}
private:
vector<V> _vertex;//顶点集合
map<V,int> _indexmap;//顶点映射下标
vector<vector<W>> _matrix; //邻接矩阵
};
void TestGraph() {
Graph<char, int, INT_MAX, true> g("0123", 4);
g.AddEdge('0', '1', 1);
g.AddEdge('0', '3', 4);
g.AddEdge('1', '3', 2);
g.AddEdge('1', '2', 9);
g.AddEdge('2', '3', 8);
g.AddEdge('2', '1', 5);
g.AddEdge('2', '0', 3);
g.AddEdge('3', '2', 6);
g.Print();
}
}
五、图的相关属性
完全图：在有n个顶点的无向图中，若有n * (n-1)/2条边，即任意两个顶点之间有且仅有一条边，则称此图为无向完全图，比如上图G1；在n个顶点的有向图中，若有n * (n-1)条边，即任意两个顶点之间有且仅有方向相反的边，则称此图为有向完全图，比如上图G4。
(可以认为这是最稠密的图)
邻接顶点：在无向图中G中，若(u, v)是E(G)中的一条边，则称u和v互为邻接顶点，并称边(u,v)依附于顶点u和v；在有向图G中，若<u, v>是E(G)中的一条边，则称顶点u邻接到v，顶点v邻接自顶点u，并称边<u, v>与顶点u和顶点v相关联。
顶点的度：顶点v的度是指与它相关联的边的条数，记作deg(v)。在有向图中，顶点的度等于该顶点的入度与出度之和，其中顶点v的入度是以v为终点的有向边的条数，记作indev(v);顶点v的出度是以v为起始点的有向边的条数，记作outdev(v)。因此：dev(v) = indev(v) + outdev(v)。
注意：对于无向图，顶点的度等于该顶点的入度和出度，即dev(v) = indev(v) = outdev(v)。
路径：在图G = (V， E)中，若从顶点vi出发有一组边使其可到达顶点vj，则称顶点vi到顶点vj的顶点序列为从顶点vi到顶点vj的路径。
路径长度：对于不带权的图，一条路径的路径长度是指该路径上的边的条数；对于带权的图，一条路径的路径长度是指该路径上各个边权值的总和。
简单路径与回路：若路径上各顶点v1，v2，v3，…，vm均不重复，则称这样的路径为简单路径。若路径上第一个顶点v1和最后一个顶点vm重合，则称这样的路径为回路或环。
子图：设图G = {V, E}和图G1 = {V1，E1}，若V1属于V且E1属于E，则称G1是G的子图
（定点是你的部分定点，边是你的部分的边，也就是顶点和边都是原图的一部分）
连通图：在无向图中，若从顶点v1到顶点v2有路径，则称顶点v1与顶点v2是连通的。如果图中任意一对顶点都是连通的，则称此图为连通图。
强连通图：在有向图中，若在每一对顶点vi和vj之间都存在一条从vi到vj的路径，也存在一条从vj到vi的路径，则称此图是强连通图。
生成树：（无向图中）一个连通图的最小连通子图称作该图的生成树。有n个顶点的连通图的生成树有n个顶点和n-1条边
最小生成树：（有向图），一个连通图，并且路径上的权值和最小
六、图的遍历
给定一个图G和其中任意一个顶点v0，从v0出发，沿着图中各边访问图中的所有顶点，且每个顶点仅被遍历一次。"遍历"即对结点进行某种操作的意思。
1.深度优先遍历
深度优先遍历就是我们一直往下走，知道走到没有路可以走了，我们就回退一步，看看有没有别的路可以轴，最终退回原点。
void _DFS(size_t srci, vector<bool>& visited)
{
//访问一个点，标记一个点
cout << srci << ":" << _vertex[srci] << endl;
visited[srci] = true;
// 找一个srci相邻的没有访问过的点，去往深度遍历
for (size_t i = 0; i < _vertex.size(); ++i)
{
if (_matrix[srci][i] != MAX_W && visited[i] == false)
{
_DFS(i, visited);
}
}
}
void DFS(const V& src)
{
//获取传入的源点的下标
size_t srci = GetVertexIndex(src);
//创建标记数组
vector<bool> visited(_vertex.size(), false);
_DFS(srci, visited);
}
2.广度优先遍历
这里我们可以仿照我们之前的层序遍历的思路。
我们创建一个队列用于遍历，另外创建一个数组用于标记我们已经被访问过的结点
每一个元素入队，我们就标记一下，这样可以防止像A出队的时候入的BCD，像B出的时候入的ACE，那么入队列就标记了，那么AC就不会入了。
//传入起点`
void BFS(const V& src)
{
//计算起点的下标
size_t srci = GetVertexIndex(src);
// 队列和标记数组
queue<int> q;
//创建一个标记数组
vector<bool> visited(_vertex.size(), false);
//将起点加入队列中
q.push(srci);
//标记起点
//只要入队列了，我们就将其标记
visited[srci] = true;
size_t n = _vertex.size();
while (!q.empty())
{
//出队头的数据
int front = q.front();
q.pop();
cout << front <<":"<<_vertex[front] << endl;
// 把front顶点的邻接顶点入队列
for (size_t i = 0; i < n; ++i)
{
if (_matrix[front][i] != MAX_W)
{
//如果没有被标记过，我们就将其入队
if (visited[i] == false)
{
q.push(i);
visited[i] = true;
}
}
}
}
cout << endl;
}
练习
这道题跟我们学习二叉树层序遍历的时候，如果想要一层一层遍历的情况是一模一样的。其实我们只需要知道每一层的大小就可以了。
也就是我们最开始将我们最先要查找的结点入队，此时我们记录我们队列的大小为1，也就是我们第一层有1个数据，然后第一层出来之后，我们将第一层的相连结点全部进入队列中，然后我们再次记录我们的队列大小，我们就知道了我们第二层的元素个数，以此类推……
然后每次都打印我们元素个数个的数据
void BFS(const V& src)
{
size_t srci = GetVertexIndex(src);
// 队列和标记数组
queue<int> q;
vector<bool> visited(_vertex.size(), false);
q.push(srci);
visited[srci] = true;
//初始我们的层的大小是1
int levelSize = 1;
size_t n = _vertex.size();
while (!q.empty())
{
// 一层一层出
for (int i = 0; i < levelSize; ++i)
{
int front = q.front();
q.pop();
cout << front << ":" << _vertex[front] << " ";
// 把front顶点的邻接顶点入队列
for (size_t i = 0; i < n; ++i)
{
if (_matrix[front][i] != MAX_W)
{
if (visited[i] == false)
{
q.push(i);
visited[i] = true;
}
}
}
}
cout << endl;
//记录下一层的元素的个数
levelSize = q.size();
}
cout << endl;
}
如果给的图并不是连通图，那么我们以从中某一个定点开始遍历必然不能遍历全部的定点。
那么我们就需要循环检查我们的上面所说的visited数组，查看其中还有哪些点并没有被标记，然后挨个儿接着遍历过去。
七、最小生成树
连通图：在无向图中，若从顶点v1到顶点v2有路径，则称顶点v1与顶点v2是连通的。如果图中任意一对顶点都是连通的，则称此图为连通图。
生成树：（无向图中）一个连通图的最小连通子图称作该图的生成树。有n个顶点的连通图的生成树有n个顶点和n-1条边
最小生成树：用最少的边连通整张图，并且构成生成树的这些边加起来的权值是最小的。最小生成树就是最小的成本让这N个点连同
连通图中的每一棵生成树，都是原图的一个极大无环子图，即：从其中删去任何一条边，生成树就不在连通；反之，在其中引入任何一条新边，都会形成一条回路。
若连通图由n个顶点组成，则其生成树必含n个顶点和n-1条边。因此构造最小生成树的准则有三条：
- 只能使用图中的权值最小的边来构造最小生成树
- 只能使用恰好n-1条边来连接图中的n个顶点
- 选用的n-1条边不能构成回路
构造最小生成树的方法：Kruskal算法和Prim算法。这两个算法都采用了逐步求解的贪心策略。
贪心算法：是指在问题求解时，总是做出当前看起来最好的选择。也就是说贪心算法做出的不是整体最优的的选择，而是某种意义上的局部最优解。贪心算法不是对所有的问题都能得到整体最优解。
1.Kruskal算法（克鲁斯卡尔算法）
任给一个有n个顶点的连通网络N={V,E}，
首先构造一个由这n个顶点组成、不含任何边的图G={V,NULL}，其中每个顶点自成一个连通分量，其次不断从E中取出权值最小的一条边(若有多条任取其一)，若该边的两个顶点来自不同的连通分量，则将此边加入到G中。如此重复，直到所有顶点在同一个连通分量上为止。
核心：每次迭代时，选出一条具有最小权值，且两端点不在同一连通分量上的边，加入生成树。
这里我们判断我们新添加的路径有没有生成环，我们所用的是并查集。只要我们这两个点在同一个集合当中，我们这两个点就是联通的。如果我们再在这两个点之间添加路的话，我们就会形成环。
C++并查集
最小生成树不一定唯一。
//边的定义，源点，目标点，权值
struct Edge
{
size_t _srci;
size_t _dsti;
W _w;
Edge(size_t srci, size_t dsti, const W& w)
:_srci(srci)
, _dsti(dsti)
, _w(w)
{}
bool operator>(const Edge& e) const
{
//比较权值的大小，重载我们的>运算符
return _w > e._w;
}
};
void AddEdge(const V& src, const V& dst, const W& w)
{
size_t srci = GetVertexIndex(src);
size_t dsti = GetVertexIndex(dst);
_AddEdge(srci, dsti, w);
}
void _AddEdge(size_t srci, size_t dsti, const W& w)
{
_matrix[srci][dsti] = w;
// 无向图
if (Direction == false)
{
_matrix[dsti][srci] = w;
}
}
W Kruskal(Self& minTree)
{
size_t n = _vertex.size();
//创建我们的最小生成树
minTree._vertex = _vertex;
minTree._indexmap = _indexmap;
//初始化我们最小生成树的矩阵
minTree._matrix.resize(n);
for (size_t i = 0; i < n; ++i)
{
minTree._matrix[i].resize(n, MAX_W);
}
//用优先级队列，这里我们需要让小的优先级高，也就是我们需要传入greater
priority_queue<Edge, vector<Edge>, greater<Edge>> minque;
for (size_t i = 0; i < n; ++i)
{
for (size_t j = 0; j < n; ++j)
{
//将所有的边都放入优先级队列中
//i<j是为了避免重复添加
if (i < j && _matrix[i][j] != MAX_W)
{
minque.push(Edge(i, j, _matrix[i][j]));
}
}
}
// 选出n-1条边
int size = 0;
//总的权值
W totalW = W();
//创建一个并查集，并查集代码参考我们上面的博客链接
UnionFindSet ufs(n);
while (!minque.empty())
{
Edge min = minque.top();
minque.pop();
//如果当前新增的边的两个顶点不在同一个集合中，也就是不相连的话，我们就可以添加这条边
if (!ufs.InSet(min._srci, min._dsti))
{
cout << _vertex[min._srci] << "->" << _vertex[min._dsti] <<":"<<min._w << endl;
//往我们的最小生成树中添加这条边
minTree._AddEdge(min._srci, min._dsti, min._w);
//将这条边添加到我们的并查集当中
ufs.Union(min._srci, min._dsti);
++size;
totalW += min._w;
}
else
{
cout << "构成环：";
cout << _vertex[min._srci] << "->" << _vertex[min._dsti] << ":" << min._w << endl;
}
}
//找到了最小生成树
if (size == n - 1)
{
return totalW;
}
//如果没有找到就返回权值
else
{
return W();
}
}
测试代码
void TestGraphMinTree()
{
const char* str = "abcdefghi";
Graph<char, int> g(str, strlen(str));
g.AddEdge('a', 'b', 4);
g.AddEdge('a', 'h', 8);
//g.AddEdge('a', 'h', 9);
g.AddEdge('b', 'c', 8);
g.AddEdge('b', 'h', 11);
g.AddEdge('c', 'i', 2);
g.AddEdge('c', 'f', 4);
g.AddEdge('c', 'd', 7);
g.AddEdge('d', 'f', 14);
g.AddEdge('d', 'e', 9);
g.AddEdge('e', 'f', 10);
g.AddEdge('f', 'g', 2);
g.AddEdge('g', 'h', 1);
g.AddEdge('g', 'i', 6);
g.AddEdge('h', 'i', 7);
Graph<char, int> kminTree;
cout << "Kruskal:" << g.Kruskal(kminTree) << endl;
kminTree.Print();
}
2.prim算法
//我们要选择一个起点
W Prim(Self& minTree, const W& src)
{
//获取这个起点的下标
size_t srci = GetVertexIndex(src);
size_t n = _vertex.size();
minTree._vertex = _vertex;
minTree._indexmap = _indexmap;
minTree._matrix.resize(n);
for (size_t i = 0; i < n; ++i)
{
minTree._matrix[i].resize(n, MAX_W);
}
//同两个数组，分别表示已经被最小生成树选中的结点和没有被最小生成树选中的结点
vector<bool> X(n, false);
vector<bool> Y(n, true);
X[srci] = true;
Y[srci] = false;
// 从X->Y集合中连接的边里面选出最小的边
priority_queue<Edge, vector<Edge>, greater<Edge>> minq;
// 先把srci连接的边添加到队列中
for (size_t i = 0; i < n; ++i)
{
if (_matrix[srci][i] != MAX_W)
{
//分别将起始点，指向的最终点和权值构成的边放入队列中
minq.push(Edge(srci, i, _matrix[srci][i]));
}
}
size_t size = 0;
W totalW = W();
while (!minq.empty())
{
Edge min = minq.top();
minq.pop();
// 最小边的目标点也在X集合，则构成环
if (X[min._dsti])
{
//cout << "构成环:";
//cout << _vertexs[min._srci] << "->" << _vertexs[min._dsti] << ":" << min._w << endl;
}
else
{
//将这条边添加到我们的最小生成树当中
minTree._AddEdge(min._srci, min._dsti, min._w);
//cout << _vertexs[min._srci] << "->" << _vertexs[min._dsti] << ":" << min._w << endl;
//X中对应的点将其标记成true代表已经加入了x集合
X[min._dsti]= true;
//Y代表的是还没有被连接的点，所以我们将我们这个已经被连接的点的位置标记成false
Y[min._dsti] = false;
++size;
totalW += min._w;
//如果选出了了n-1条边，那么我们选边就已经结束了
if (size == n - 1)
break;
for (size_t i = 0; i < n; ++i)
{
//将当前边的终点作为我们挑选下一条边的起点，并且这条起点的终点不能在我们的X集合中
//然后将这些点重新放入我们的队列中
if (_matrix[min._dsti][i] != MAX_W && Y[i])
{
minq.push(Edge(min._dsti, i, _matrix[min._dsti][i]));
}
}
}
}
//选到了n-1条边就返回总的权重
if (size == n - 1)
{
return totalW;
}
else
{
return W();
}
}
void TestGraphMinTree2()
{
const char* str = "abcdefghi";
Graph<char, int> g(str, strlen(str));
g.AddEdge('a', 'b', 4);
g.AddEdge('a', 'h', 8);
//g.AddEdge('a', 'h', 9);
g.AddEdge('b', 'c', 8);
g.AddEdge('b', 'h', 11);
g.AddEdge('c', 'i', 2);
g.AddEdge('c', 'f', 4);
g.AddEdge('c', 'd', 7);
g.AddEdge('d', 'f', 14);
g.AddEdge('d', 'e', 9);
g.AddEdge('e', 'f', 10);
g.AddEdge('f', 'g', 2);
g.AddEdge('g', 'h', 1);
g.AddEdge('g', 'i', 6);
g.AddEdge('h', 'i', 7);
Graph<char, int> pminTree;
cout << "Prim:" << g.Prim(pminTree, 'a') << endl;
pminTree.Print();
cout << endl;
}
八、最短路径
1.Dijkstra算法
最短路径问题：从在带权有向图G中的某一顶点出发，找出一条通往另一顶点的最短路径，最短也就是 沿路径各边的权值总和达到最小。
单源最短路径问题：给定一个图G = ( V ， E ) G=(V，E)G=(V，E)，求源结点s ∈ V s∈Vs∈V到图中每个结点v ∈ V v∈Vv∈V的最短路径。Dijkstra算法就适用于解决带权重的有向图上的单源最短路径问题，同时算法要求图中所有边的权重非负。一般在求解最短路径的时候都是已知一个起点 和一个终点，所以使用Dijkstra算法求解过后也就得到了所需起点到终点的最短路径。
（单源一个点到别的点的最短路径）
针对一个带权有向图G，将所有结点分为两组S和Q，S是已经确定最短路径的结点集合，在初始时为空（初始时就可以将源节点s放入，毕竟源节点到自己的代价是0），Q 为其余未确定最短路径的结点集合，每次从Q 中找出一个起点到该结点代价最小的结点u ，将u 从Q 中移出，并放入S 中，对u 的每一个相邻结点v 进行松弛操作。松弛即对每一个相邻结点v ，判断源节点s到结点u 的代价与u 到v 的代价之和是否比原来s 到v 的代价更小，若代价比原来小则要将s 到v 的代价更新为s 到u 与u 到v 的代价之和，否则维持原样。如此一直循环直至集合Q 为空，即所有节点都已经查找过一遍并确定了最短路径，至于一些起点到达不了的结点在算法循环后其代价仍为初始设定 的值，不发生变化。Dijkstra算法每次都是选择V-S中最小的路径节点来进行更新，并加入S中，所 以该算法使用的是贪心策略。
（从已经选择的最短路径去更新其他连接的路径）
Dijkstra算法存在的问题是不支持图中带负权路径，如果带有负权路径，则可能会找不到一些路 径的最短路径。
//打印最短路径
void PrintShortPath(const V& src, const vector<W>& dist, const vector<int>& pPath)
{
//获取目标点的对应的索引
size_t srci = GetVertexIndex(src);
//获取一共的点的个数
size_t n = _vertex.size();
for (size_t i = 0; i < n; ++i)
{
//如果i不是我们当前的源点，也就是需要排除自己走到自己的情况
if (i != srci)
{
// 找出i顶点的路径
vector<int> path;
size_t parenti = i;
//如果父节点不是我们的源，我们就不断向前查找，并且将我们的路径记录到我们的path当中
while (parenti != srci)
{
path.push_back(parenti);
parenti = pPath[parenti];
}
path.push_back(srci);
//由于我们是从后向前寻找的，所以我们需要将我们的vector逆置一下
reverse(path.begin(), path.end());
for (auto index : path)
{
cout << _vertex[index] << "->";
}
cout << dist[i] << endl;
}
}
}
//传入源点，
// 传入存储源点到其他各个点的最短路径的权值和容器（例：点s到syzx的路径）
//传入每个节点的父路径，也就是从我们的源节点到我们每一个节点的最短路径的前一个节点的下标
void Dijkstra(const V& src, vector<W>& dist, vector<int>& pPath)
{
//源点的下标
size_t srci = GetVertexIndex(src);
//节点的数量
size_t n = _vertex.size();
//将所有的路径初始化为无穷大
dist.resize(n, MAX_W);
//将路径全部都初始化成-1，也就是没有前一个结点（我们结点的下标从0开始）
pPath.resize(n, -1);
//自己结点到自己的距离就是0
dist[srci] = 0;
//自己到自己的最短路径的前一个节点就是自己，所以前一个节点的下标也是自己
pPath[srci] = srci;
// 标记已经确定最短路径的顶点集合，初始全部都是false，也就是全部都没有被确定下来
vector<bool> S(n, false);
for (size_t j = 0; j < n; ++j)
{
// 选最短路径顶点且不在S更新其他路径
//最小的点为u，初始化为0
int u = 0;
//记录到最小的点的权值
W min = MAX_W;
for (size_t i = 0; i < n; ++i)
{
//这个点没有被选过，并且到这个点的权值比我们当前的最小值更小，我们就进行更新
if (S[i] == false && dist[i] < min)
{
//用u记录这个最近的点的编号
u = i;
min = dist[i];
}
}
//标记当前点已经被选中了
S[u] = true;
// 松弛更新u连接顶点v srci->u + u->v < srci->v 更新
//确定u链接出去的所有点
for (size_t v = 0; v < n; ++v)
{
//如果v这个点没有被标记过，也就是我们这个点还没有被确定最短距离，并且从我们当前点u走到v的路径是存在的
//并且从u走到v的总权值的和比之前源点到v的权值更小，我们就更新我们从源点到我们的v的最小权值
if (S[v] == false && _matrix[u][v] != MAX_W
&& dist[u] + _matrix[u][v] < dist[v])
{
//更新从源点到v的最小权值
dist[v] = dist[u] + _matrix[u][v];
//标记我们从源点到v的最小路径要走到v这一步的前一个节点需要走u
pPath[v] = u;
}
}
}
}
测试代码
void TestGraphDijkstra()
{
const char* str = "syztx";
Graph<char, int, INT_MAX, true> g(str, strlen(str));
g.AddEdge('s', 't', 10);
g.AddEdge('s', 'y', 5);
g.AddEdge('y', 't', 3);
g.AddEdge('y', 'x', 9);
g.AddEdge('y', 'z', 2);
g.AddEdge('z', 's', 7);
g.AddEdge('z', 'x', 6);
g.AddEdge('t', 'y', 2);
g.AddEdge('t', 'x', 1);
g.AddEdge('x', 'z', 4);
vector<int> dist;
vector<int> parentPath;
g.Dijkstra('s', dist, parentPath);
g.PrintShortPath('s', dist, parentPath);
}
如果我们路径的权值是负数会怎么样
void TestGraphDijkstra()
{
// 图中带有负权路径时，贪心策略则失效了。
// 测试结果可以看到s->t->y之间的最短路径没更新出来
const char* str = "sytx";
Graph<char, int, INT_MAX, true> g(str, strlen(str));
g.AddEdge('s', 't', 10);
g.AddEdge('s', 'y', 5);
g.AddEdge('t', 'y', -7);
g.AddEdge('y', 'x', 3);
vector<int> dist;
vector<int> parentPath;
g.Dijkstra('s', dist, parentPath);
g.PrintShortPath('s', dist, parentPath);
}
这里我们的算法是不会对我们已经确定最短路径的点更新最短的路径的权值的，因为我们这里每一次都是确定到一个新的节点的最短路径，如果我们重新更新我们已经确定了的结点，这样就会违反我们贪心的原则。
在上面的算法中，我们执行到最后一步的时候，我们更新到我们的t，这里我们的s->t->y的路径明显比我们从s->y的路径更加短，但是由于我们的y已经是被确定过最短路径的结点，所以我们这里并不会再次更新我们的y。但实际上从s->t->y的路径的权值会比从s->y的权值更小，所以这就是为什么我们的dijkstra算法不能计算带有负权值的图。
时间复杂度O(N^2)，空间复杂度O(N)
2.Bellman-Ford算法（贝尔曼福特算法）
Dijkstra算法只能用来解决正权图的单源最短路径问题，但有些题目会出现负权图。这时这个算法就不能帮助我们解决问题了，而bellman—ford算法可以解决负权图的单源最短路径问题。它的优点是可以解决有负权边的单源最短路径问题，而且可以用来判断是否有负权回路。它也有明显的缺点，它的时间复杂度 O(N*E) (N是点数，E是边数)普遍是要高于Dijkstra算法O(N²)的。像这里如果我们使用邻接矩阵实现，那么遍历所有边的数量的时间复杂度就是O(N^3)，这里也可以看出来Bellman-Ford就是一种暴力求解更新。
// 时间复杂度：O(N^3) 空间复杂度：O（N）
bool BellmanFord(const V& src, vector<W>& dist, vector<int>& pPath)
{
//获取我们点的总和数
size_t n = _vertex.size();
//获取我们源点的索引
size_t srci = GetVertexIndex(src);
// vector<W> dist,记录srci-其他顶点最短路径权值数组
dist.resize(n, MAX_W);
// vector<int> pPath 记录srci-其他顶点最短路径父顶点数组
pPath.resize(n, -1);
// 先更新srci->srci为缺省值
dist[srci] = W();
//cout << "更新边：i->j" << endl;
// 总体最多更新n轮
//从s->t最多经过n条边，否则就会变成回路。
//每一条路径的更新都可能会影响别的路径
for (size_t k = 0; k < n; ++k)
{
// i->j 更新松弛
bool update = false;
cout << "更新第:" << k << "轮" << endl;
for (size_t i = 0; i < n; ++i)
{
for (size_t j = 0; j < n; ++j)
{
// srci -> i + i ->j
//如果i->j边存在的话，并且srci -> i + i ->j比原来的距离更小，就更新该路径
if (_matrix[i][j] != MAX_W && dist[i] + _matrix[i][j] < dist[j])
{
//这一轮有发生更新
update = true;
cout << _vertex[i] << "->" << _vertex[j] << ":" << _matrix[i][j] << endl;
dist[j] = dist[i] + _matrix[i][j];
//记录当前点的前一个节点
pPath[j] = i;
}
}
}
// 如果这个轮次中没有更新出更短路径，那么后续轮次就不需要再走了
if (update == false)
{
break;
}
}
// 还能更新就是带负权回路，具体的例子在下面
for (size_t i = 0; i < n; ++i)
{
for (size_t j = 0; j < n; ++j)
{
// srci -> i + i ->j
if (_matrix[i][j] != MAX_W && dist[i] + _matrix[i][j] < dist[j])
{
return false;
}
}
}
return true;
}
void TestGraphBellmanFord()
{
const char* str = "syztx";
Graph<char, int, INT_MAX, true> g(str, strlen(str));
g.AddEdge('s', 't', 6);
g.AddEdge('s', 'y', 7);
g.AddEdge('y', 'z', 9);
g.AddEdge('y', 'x', -3);
g.AddEdge('z', 's', 2);
g.AddEdge('z', 'x', 7);
g.AddEdge('t', 'x', 5);
g.AddEdge('t', 'y', 8);
g.AddEdge('t', 'z', -4);
g.AddEdge('x', 't', -2);
vector<int> dist;
vector<int> parentPath;
g.BellmanFord('s', dist, parentPath);
g.PrintShortPath('s', dist, parentPath);
能解决负权路径的问题，但是没办法解决负权回路的问题
void TestGraphBellmanFord()
{
const char* str = "syztx";
Graph<char, int, INT_MAX, true> g(str, strlen(str));
g.AddEdge('s', 't', 6);
g.AddEdge('s', 'y', 7);
g.AddEdge('y', 'z', 9);
g.AddEdge('y', 'x', -3);
//g.AddEdge('y', 's', 1); // 新增
g.AddEdge('z', 's', 2);
g.AddEdge('z', 'x', 7);
g.AddEdge('t', 'x', 5);
//g.AddEdge('t', 'y', -8); //更改
g.AddEdge('t', 'y', 8);
g.AddEdge('t', 'z', -4);
g.AddEdge('x', 't', -2);
vector<int> dist;
vector<int> parentPath;
if (g.BellmanFord('s', dist, parentPath))
g.PrintShortPath('s', dist, parentPath);
else
cout << "带负权回路" << endl;
}
这里我们的s->t是6
s->y是7
s->y->t是-1
s->t变成5
s->t->y变成-2
然后就会一直死循环更新下去。
带有负权回路是求不出最短路径的。
3.Floyd-Warshall算法（弗洛伊德算法）
解决图中任意两点之间的最短路径问题。（动态规划）
Floyd-Warshall算法是解决任意两点间的最短路径的一种算法。
Floyd算法考虑的是一条最短路径的中间节点，即简单路径p={v1,v2,…,vn}上除v1和vn的任意节
点。
设k是p的一个中间节点，那么从i到j的最短路径p就被分成i到k和k到j的两段最短路径p1，p2。p1是从i到k且中间节点属于{1，2，…，k-1}取得的一条最短路径。p2是从k到j且中间节点属于{1，2，…，k-1}取得的一条最短路径。
（可以解决带负权的问题）
（当然，以所有点为源点也可以求出任意两点之间的最短距离）
（迪杰斯特拉不能带负权，贝尔曼算法时间复杂度太高）
即Floyd算法本质是三维动态规划，D[i][j][k]表示从点i到点j只经过0到k个点最短路径，然后建立起转移方程，然后通过空间优化，优化掉最后一维度，变成一个最短路径的迭代算法，最后即得到所以点的最短路。
void FloydWarshall(vector<vector<W>>& vvDist, vector<vector<int>>& vvpPath)
{
//获取一共有多少个点
size_t n = _vertex.size();
vvDist.resize(n);
vvpPath.resize(n);
// 初始化权值和路径矩阵
for (size_t i = 0; i < n; ++i)
{
//设置成最大值，表示不相通
vvDist[i].resize(n, MAX_W);
//设置成-1表示没有父路径
vvpPath[i].resize(n, -1);
}
// 直接相连的边更新一下
for (size_t i = 0; i < n; ++i)
{
for (size_t j = 0; j < n; ++j)
{
if (_matrix[i][j] != MAX_W)
{
vvDist[i][j] = _matrix[i][j];
//连接的上一个点
vvpPath[i][j] = i;
}
//自己跟自己相连的话，就更新成0
if (i == j)
{
vvDist[i][j] = W();
}
}
}
//所有点都有可能成为别的路径的中间点
// abcdef a {} f || b {} c
// 最短路径的更新i-> {其他顶点} ->j
//这里的k就是遍历所有的点，假设i到j的路径经过k这个点会不会比不经过k更短。
for (size_t k = 0; k < n; ++k)
{
for (size_t i = 0; i < n; ++i)
{
for (size_t j = 0; j < n; ++j)
{
// k 作为的中间点尝试去更新i->j的路径
if (vvDist[i][k] != MAX_W && vvDist[k][j] != MAX_W
//如果经过k点我们的路径会变得更短
&& vvDist[i][k] + vvDist[k][j] < vvDist[i][j])
{
//更新i,j
vvDist[i][j] = vvDist[i][k] + vvDist[k][j];
// 找跟j相连的上一个邻接顶点
// 如果k->j 直接相连，上一个点就是k，vvpPath[k][j]存就是k
// 如果k->j 没有直接相连，比如说中间还经过了别的点 k->...->x->j，vvpPath[k][j]存就是x
//vvpPath[i][j]= vvpPath[k][j]代表想要走到j这个点之前还要先想办法走到k这个点
vvpPath[i][j] = vvpPath[k][j];
}
}
}
// 打印权值和路径矩阵观察数据
for (size_t i = 0; i < n; ++i)
{
for (size_t j = 0; j < n; ++j)
{
if (vvDist[i][j] == MAX_W)
{
//cout << "*" << " ";
printf("%3c", '*');
}
else
{
//cout << vvDist[i][j] << " ";
printf("%3d", vvDist[i][j]);
}
}
cout << endl;
}
cout << endl;
for (size_t i = 0; i < n; ++i)
{
for (size_t j = 0; j < n; ++j)
{
//cout << vvParentPath[i][j] << " ";
printf("%3d", vvpPath[i][j]);
}
cout << endl;
}
cout << "=================================" << endl;
}
}
测试代码
void TestFloydWarShall()
{
const char* str = "12345";
Graph<char, int, INT_MAX, true> g(str, strlen(str));
g.AddEdge('1', '2', 3);
g.AddEdge('1', '3', 8);
g.AddEdge('1', '5', -4);
g.AddEdge('2', '4', 1);
g.AddEdge('2', '5', 7);
g.AddEdge('3', '2', 4);
g.AddEdge('4', '1', 2);
g.AddEdge('4', '3', -5);
g.AddEdge('5', '4', 6);
vector<vector<int>> vvDist;
vector<vector<int>> vvParentPath;
g.FloydWarshall(vvDist, vvParentPath);
// 打印任意两点之间的最短路径
for (size_t i = 0; i < strlen(str); ++i)
{
g.PrintShortPath(str[i], vvDist[i], vvParentPath[i]);
cout << endl;
}
}
