反常积分敛散性的比较判别法专题（及常用反常积分）
反常积分敛散性的比较判别法
文章目录
- 1.比较判别法的一般形式
- 2.比较判别法的极限形式
- 3.常用结论
- ①常用反常积分一（p积分）
- ②常用反常积分二(q积分)
- ③常用反常积分三
- ④常用反常积分四
1.比较判别法的一般形式
设
f
(
x
)
f(x)
f(x),
g
(
x
)
g(x)
g(x)在
[
a
,
+
∞
)
[a,+\infty)
[a,+∞)上 连续，且
0
<
f
(
x
)
≤
g
(
x
)
0<f(x)≤g(x)
0<f(x)≤g(x)。则
若
∫
a
+
∞
g
(
x
)
d
x
\int_{a}^{+\infty} g(x) dx
∫a+∞g(x)dx收敛，则有
∫
a
+
∞
f
(
x
)
d
x
\int_{a}^{+\infty} f(x) dx
∫a+∞f(x)dx收敛；
若
∫
a
+
∞
f
(
x
)
d
x
\int_{a}^{+\infty} f(x) dx
∫a+∞f(x)dx发散，则有
∫
a
+
∞
g
(
x
)
d
x
\int_{a}^{+\infty} g(x) dx
∫a+∞g(x)dx发散。
2.比较判别法的极限形式
设
f
(
x
)
f(x)
f(x),
g
(
x
)
g(x)
g(x)在
[
a
,
+
∞
)
[a,+\infty)
[a,+∞)上 非负连续，
lim
x
→
+
∞
f
(
x
)
g
(
x
)
=
λ
\lim\limits_{x \to +\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lambda
x→+∞limg(x)f(x)=λ，则
若
λ
>
0
\lambda>0
λ>0，则
∫
a
+
∞
f
(
x
)
d
x
\int_{a}^{+\infty}f(x)dx
∫a+∞f(x)dx 与
∫
a
+
∞
g
(
x
)
d
x
\int_{a}^{+\infty}g(x)dx
∫a+∞g(x)dx敛散性相同。
若
λ
=
0
\lambda=0
λ=0，且
∫
a
+
∞
g
(
x
)
d
x
\int_{a}^{+\infty}g(x)dx
∫a+∞g(x)dx收敛，则
∫
a
+
∞
f
(
x
)
d
x
\int_{a}^{+\infty}f(x)dx
∫a+∞f(x)dx 收敛。
若
λ
=
+
∞
\lambda=+\infty
λ=+∞，且
∫
a
+
∞
g
(
x
)
d
x
\int_{a}^{+\infty}g(x)dx
∫a+∞g(x)dx发散，则
∫
a
+
∞
f
(
x
)
d
x
\int_{a}^{+\infty}f(x)dx
∫a+∞f(x)dx 发散。
3.常用结论
①常用反常积分一（p积分）
对反常积分
∫
a
+
∞
1
x
p
d
x
\int_{a}^{+\infty}\frac{1}{x^p}dx
∫a+∞xp1dx，(a>0)
若
p
>
1
p>1
p>1，则该反常积分收敛；
若
p
≤
1
p≤1
p≤1，则该反常积分发散。
②常用反常积分二(q积分)
对反常积分
∫
a
b
1
(
x
−
a
)
q
d
x
\int_{a}^{b}\frac{1}{(x-a)^q}dx
∫ab(x−a)q1dx，(a>0)
若
q
<
1
q<1
q<1，则该反常积分收敛；
若
q
≥
1
q≥1
q≥1，则该反常积分发散。
③常用反常积分三
对反常积分
∫
2
+
∞
1
x
p
ln
q
x
d
x
\int_{2}^{+\infty}\frac{1}{x^p\ln^qx}dx
∫2+∞xplnqx1dx，
若
P
>
1
P>1
P>1，则对任意q该反常积分都收敛；
若
P
＜
1
P＜1
P＜1，则对任意q该反常积分都发散；
若
P
=
1
P=1
P=1，则q>1时该反常积分收敛，q<1时该反常积分发散。
④常用反常积分四
∫ − ∞ + ∞ e − x 2 d x = π \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx=\pi ∫−∞+∞e−x2dx=π
对于一般的多数反常积分，如果可以化成p积分或q积分的形式，则化成即可再判断敛散性。
如果不能，则先尽可能地化简，然后选择合适的p积分或q积分，将其与之进行比较即可。