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数学基础从高一开始1、集合的概念

news 来源：原创 2024/12/28 3:57:11

数学基础从高一开始1、集合的概念

一、课程引入

解析：方程编辑=2是否有解？

解析：所有到定点的距离等于定长的点组成何种图形？

结论：

二、课程讲解

问题1：

集合的特性：

问题2：

知识点小结1：

符号解析1：

问题3：

知识点小结2：

问题4：

练习：

练习1：

练习2：

练习3：

练习4：

符号解析2：

知识点小结3：

问题5：

问题6：

问题7：

三、例题讲解

例1、选择适当的方式表示下列集合：

四、总结

一、课程引入

1、方程 $x^{2}$ =2是否有解？

2、所有到定点的距离等于订场的点组成何种图形？

解析：方程 $x^{2}$ =2是否有解？

在有理数范围是没有解，在实数范围有2个根， $\pm \sqrt{2}$ 。

解析：所有到定点的距离等于定长的点组成何种图形？

在同一【平面内】组成：【圆】

在同一【空间】组成：【球面】

结论：

明确研究对象，明确研究范围是我们研究数学的基础问题。

二、课程讲解

问题1：

如何简洁、准确地描述数学对象及研究范围呢？我们看下面几个例子：

1、1~11之间的所有偶数；(蓝桥杯基础题)

2、衡水一中今年入学的全体高一学生；

3、地球上的四大洋；

4、不等式x-7<3的解集；

5、较小的数；

问题1的1、中，我们把1~11之间的每一个偶数即2/4/6/8/10作为研究对象，可以使用【i%2==0】的方式进行计算机计算，确定有数量范围。

问题1的2、中，衡水一中今年入学的每一个高一学生作为研究对象。肯定是有数量范围的。

一般地，我们把研究对象统称为【元素element】，把一些元素组成的总体叫做集合(set)，简称集。无序，这里可以当做hashset，如果是treeset就是有序的。这里没有讨论list与map。

集合的特性：

1、集合具有确定性

2、集合具有互异性

3、集合具有无序性

问题2：

上面的问题1/3，问题1/4，问题1/5能组成集合吗？

【3、地球上的四大洋；】与【4、不等式x-7<3的解集；】是可以组成集合的，因为符合集合的确定性、互异性、无序性。但是【5、较小的数；】没有确定性，所以无法组成集合。

知识点小结1：

我们通常用大写拉丁字母A，B，C，……表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，……表示集合中的元素。

如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）集合A，记作a∈A；如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）集合A，记作a∉A。

符号解析1：

高中的第一个数学符号属于符号∈，对应的不属于符号∉。

问题3：

若用A表示前面问题（1）中“1~11之间的每一个偶数”组成的集合，3,4分组与集合A有何种关系呢?如何用数学语言表述呢？

易知4是A中的元素，3不是A中的元素，即：4∈A，3∉A。

知识点小结2：

全体非负整数组成的集合成为非负整数集(或自然数集)，记作N；

全体正整数组成的集合成为正整数集，记作N*或 $N_{+}$ ；

全体整数组成的集合称为整数集，记作Z；

全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；

全体实数组成的集合称为实数集，记作R。

集合论的创立过程体现了数学发生发展的背景和客观需求，数学的发现和创造过程充满着数学家的想象力、创造力和不屈不挠、精益求精的精神，展现了人类理性思维的巨大力量。

问题4：

上面的例子中，我们用自然语言描述了一个集合，除此之外，还可以使用什么方式表示集合呢?

“方程 $x^{2}$ =2在实数范围内的根？”可以表示为{ $\sqrt{2}$ ，- $\sqrt{2}$ }，

“1~11之间的所有偶数”组成的集合可以表示为{2,4,6,8,10}，

“地球上的四大洋”组成的集合可以表示为{"太平洋","大西洋","印度洋","北冰洋"}。

练习：

练习1：

想这样把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法叫做列举法。

列举法表示集合：

1、大于1且小于6的整数；

Set={2,3,4,5}

2、方程 $x^{2}$ -9=0的所有实数根组成的集合；

Set={3,-3}

练习2：

0与{0}的数学含义相同吗？

不同，0表示数字0，{0}是列举法表示的集合，包含一个元素0.

练习3：

如何用数学语言表述0与{0}之间关系呢？

0与{0}是元素与集合的关系，元素0属于集合{0}，记作0∈{0}.

练习4：

对于集合“所有到定点的距离等于订场的点组成何种图形？与不等式x-7<3的解集；”应该如何表示？

例如：不等式x-7<3的解集；

我们可以利用解集中元素的共同特征，即x是实数，且x<10，把解集表示为{x∈R|x<10}。

符号解析2：

|一个竖线，代表或，就是满足x∈R或x<10，这两个数值范围都是解集。

知识点小结3：

一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x属于A|P(x)}，这种表示集合的方式成为描述法。有时也用冒号或分号代替竖线，写成{x∈A:P(x)}或{x∈A;P(x)}。

问题5：

整数集Z可以分为奇数集和偶数集，我们如何用描述法表示奇数集？

可以确定任何数k*2+1都会是一个偶数，那么就可以表示为：x=2k+1，但x∈Z，k∈Z。

具体的表达集合的方式为：{x∈Z|x=2k+1,k∈Z}。

问题6：

用描述法描述偶数集?

表示方式：{x∈Z|x=2k,k∈Z}

问题7：

描述有理数集?

表示方式：Q={p/q｜p∈Z,q∈N+且p与q互质}。

三、例题讲解

例1、选择适当的方式表示下列集合：

1、小于10的所有自然数组成的集合。

2、方程 $x^{2}$ =x的所有实数根组成的集合。

小于10的自然数：A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，描述法{x∈N|x<10}，

代码描述：
x=0
for i in range(0,10):
    print(i)
或
if x>0 and x<10 :
    print("集合A",x)
方程 $x^{2}$ =x的所有实数根：B={0,1}，这个求解也就知道了。

也可以用描述法：{x| $x^{2}$ =x}。x∈R是明确的，R是所有实数的集合，叫实数集。省略了。

练习8：

解，设x∈A，则x是一个实数，且 $x^{2}$ -2x-3=0。因此，用描述法表示为：A={x| $x^{2}$ -2x-3=0}，

方程 $x^{2}$ -2x-3=0有两个实数根3与-1，用列举法表示：A={3,-1}。