【算法 | 实验6-1】n*n的网格，从左上角开始到右下角结束遍历所有的方块仅一次，总共有多少种不同的遍历路径
文章目录
- 前言
- 题
- 思路
- 判断联通性，思路1：
- 判断联通性，思路2：
- 实现（C++）
- 思路1
- 思路2
- bug记录
前言
思路介绍中省略了关于如何进行回溯搜索的细节，而主要讨论回溯中所使用的剪枝策略。
题
对于如图7×7的网格，从左上角开始到右下角结束遍历所有的方块仅一次，总共有多少种不同的遍历路径？
思路
基本思路：回溯法进行搜索。但纯暴力的搜索时间复杂度太大，需要加上剪枝的优化。
剪枝：可剪掉会导致不连通的走法，每走一步都判断是否联通。例如下图中的第五步，就将网格划分成了两片不连通的区域。
判断联通性，思路1：
for 格子 in 所有网格
if(以该格子作为起点进行搜索，能找到一条到达终点的路径)
该格子与终点联通
if(所有格子都与终点联通)
所有网格之间是联通的
即在一次是否联通的判断中，对应每个空的（没走过的）格子都进行一次回溯搜索。
到这里可能就会疑惑，剪枝的代价这么大，值得吗？答案是值得的，可以自己写有剪枝和纯暴力的程序对比一下。
看似一下只剪掉了一种情况，有时其实剪掉的相连的枝条是非常多的。
剪枝效果：对题中 7 * 7 的网格，程序需要运行 2~3 分钟才能得到结果（毕竟搜索的基数还是太大了）。然而比纯暴力的情况好很多（纯暴力搜索我根本没看到结果）。
判断联通性，思路2：
前面的剪枝虽然有一些效果（至少可以看得见结果），然而每次剪枝代价还是偏大。每次判断联通，都对每个格子应用一次回溯搜索其实是不必要的。
那是一种比较静态的思路，你给我一张网格，告诉我哪些格子走过了（被覆盖），哪些格子没走过（空白），然后我告诉你它是不是联通。
另一种想法，就是考虑怎样走会导致不连通，因为状态从联通到不连通的转变只在某一步。
要把一块区域困死，走的路径就肯定会形成闭环，可以作以下断言：
if(我某一步后，前方是墙壁或走过的格子，且此时我两边都是没走过的格子）
不连通
else
联通
对剪枝进行优化后，仅需 2~3 秒即得到结果。
实现（C++）
思路1
#include<iostream>
using namespace std;
const int Len = 7;//迷宫的边长
//--------------------------------------------------
//复制一个二维数组，将在live()中被调用
void copy_mg(int source[][Len], int target[][Len]){
for(int i = 0; i < Len; i++){
for(int j = 0; j < Len; j++){
target[i][j] = source[i][j];
}
}
}
//--------------------------------------------------
//判断位置(y,x)是否仍与终点联通
bool chance(int mg[][Len], int y, int x){
//出来了吗？
if(y == Len-1 && x == Len-1){
return true;
}
//1
if(y < Len - 1) {
mg[y][x] = '#';
y++;
if(mg[y][x] == 0){
if(chance(mg, y, x)){
return true;
}
}
y--;
mg[y][x] = 0;
}
//2
if(y > 0) {
mg[y][x] = '#';
y--;
if(mg[y][x] == 0){
if(chance(mg, y, x)){
return true;
}
}
y++;
mg[y][x] = 0;
}
//3
if(x < Len - 1) {
mg[y][x] = '#';
x++;
if(mg[y][x] == 0){
if(chance(mg, y, x)){
return true;
}
}
x--;
mg[y][x] = 0;
}
//4
if(x > 0) {
mg[y][x] = '#';
x--;
if(mg[y][x] == 0){
if(chance(mg, y, x)){
return true;
}
}
x++;
mg[y][x] = 0;
}
return false;
}
//--------------------------------------------------
//判断是否存在点被困死，未困死返回true
bool live(int maze[][Len]){
for(int i = 0; i < Len; i++){
for(int j = 0; j < Len; j++){
if(maze[i][j] > 0) continue;
int mg[Len][Len] = {};
copy_mg(maze, mg);
bool t = chance(mg, i, j);
if(! t){
return false;
}
}
}
return true;
}
//--------------------------------------------------
//打印迷宫路径
void printMaze(int maze[][Len]){
for(int i = 0; i < Len; i++){
for(int j = 0; j < Len; j++){
printf("(%3d) ", maze[i][j]);
}
cout<<endl;
}
cout<<endl;
}
//--------------------------------------------------
//参数y为行标，x为列标
void road(int maze[][Len], int y, int x, int & count, int num){
num++;
//不符合继续递归条件的情况：1、走到了墙上2、有点被困死再无法走到
if(maze[y][x] > 0 || live(maze) == 0){
return;
}
//到达终点
if(x == Len-1 && y == Len-1){
maze[y][x] = num;
//判断是否走过了所有的点
if(maze[y][x] == Len * Len){
count++;
if(count % 10000 == 0) {
cout<<"count: "<<count<<" (y,x): "<<y<<" "<<x<<endl;
printMaze(maze);
}
}
maze[y][x] = 0;
return;
}
//上
if(y - 1 >= 0){
maze[y][x] = num;
road(maze, y-1, x, count, num);
maze[y][x] = 0;
}
//下
if(y + 1 < Len){
maze[y][x] = num;
road(maze, y+1, x, count, num);
maze[y][x] = 0;
}
//左
if(x - 1 >= 0){
maze[y][x] = num;
road(maze, y, x-1, count, num);
maze[y][x] = 0;
}
//右
if(x + 1 < Len){
maze[y][x] = num;
road(maze, y, x+1, count, num);
maze[y][x] = 0;
}
}
//--------------------------------------------------
int main(){
int maze[Len][Len] = {};
int count = 0;//路径的数量
road(maze, 0, 0, count, 0);
cout<<"result:"<<count<<endl;
return 0;
}
思路2
//1.剪枝：不连通
#include<iostream>
using namespace std;
const int Len = 7;//迷宫的边长
//--------------------------------------------------
//判断走当前这一步是否会导致不连通
bool live(int maze[][Len], int y, int x){
//上下堵，左右空
if((y+1 >= Len || maze[y+1][x] != 0) && (y-1 < 0 || maze[y-1][x] != 0)){
if(x-1 >= 0 && maze[y][x-1] == 0 && x+1 < Len && maze[y][x+1] == 0){
return false;
}
}
//左右堵，上下空
else if((x+1 >= Len || maze[y][x+1] != 0) && (x-1 < 0 || maze[y][x-1] != 0)){
if(y-1 >= 0 && maze[y-1][x] == 0 && y+1 < Len && maze[y+1][x] == 0){
return false;
}
}
return true;
}
//--------------------------------------------------
//参数y为行标，x为列标
void road(int maze[][Len], int y, int x, int & count, int num){
//(y,x):当前坐标，count:路径总数，num:当前是第多少步
num++;
//不符合继续递归条件的情况：1、走到了墙上2、有点被困死再无法走到
if(maze[y][x] > 0 || live(maze, y, x) == 0){
return;
}
//到达终点
if(x == Len-1 && y == Len-1){
maze[y][x] = num;
//判断是否走过了所有的点
if(maze[y][x] == Len * Len){
count++;
}
maze[y][x] = 0;
return;
}
//上
if(y - 1 >= 0){
maze[y][x] = num;
road(maze, y-1, x, count, num);
maze[y][x] = 0;
}
//下
if(y + 1 < Len){
maze[y][x] = num;
road(maze, y+1, x, count, num);
maze[y][x] = 0;
}
//左
if(x - 1 >= 0){
maze[y][x] = num;
road(maze, y, x-1, count, num);
maze[y][x] = 0;
}
//右
if(x + 1 < Len){
maze[y][x] = num;
road(maze, y, x+1, count, num);
maze[y][x] = 0;
}
}
//--------------------------------------------------
int main(){
int maze[Len][Len] = {};
int count = 0;//路径的数量
road(maze, 0, 0, count, 0);
cout<<"result:"<<count<<endl;
return 0;
}
bug记录
在写live()函数时，我一开始的 if 语句如下。只有当前位置的上方或下方不是空格子，就判断为“碰到墙壁”。
//向上碰壁或向下碰壁
if(y+1 >= Len || maze[y+1][x] != 0 || y-1 < 0 || maze[y-1][x] != 0)
但后面发现，我给live()这个函数并没有传递“这一步是向哪个方向走达到的”这个方向信息，要判断碰壁应改为下面的代码（碰壁时，来的方向和走向的方向肯定都不是空格）。
if((y+1 >= Len || maze[y+1][x] != 0) && (y-1 < 0 || maze[y-1][x] != 0))
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