1236. 递增三元组

题目描述

给定 N 个闭区间 $[a_i,b_i]$，请你将这些区间分成若干组，使得每组内部的区间两两之间（包括端点）没有交集，并使得组数尽可能小。

输出最小组数。

输入格式：

第一行包含整数 N，表示区间数。

接下来 N 行，每行包含两个整数 $a_i,b_i$，表示一个区间的两个端点。

输出格式：

输出一个整数，表示最小组数。

数据范围

• $1\le N\le 10^5$
• $-10^9\le a_i\le b_i\le 10^9$

输入样例

3
-1 1
2 4
3 5

输出样例

2

方法：贪心

解题思路

贪心算法（greedy algorithm，又称贪婪算法）是指，在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择。也就是说，不从整体最优上加以考虑，算法得到的是在某种意义上的局部最优解。
贪心算法不是对所有问题都能得到整体最优解，关键是贪心策略的选择。
区间分组，在组内区间不相交的前提下，分成尽可能少的组。也就是说尽可能多地把不同区间分进同一个组。
heap 存储的是每个组的最右的右端点，由于 heap 是小根堆，heap.top() 存储的就是最小的最右点。

1. 将所有区间按左端点从小到大排序；
2. 判断当前区间是否可以放入某个组中：
   如果当前区间的左端点 <= 最小的最右点，即 range[i].l <= heap.top()，则说明任何一个组都与当前区间有相交部分，即没有哪一个组可以塞入当前区间，就需要重开一组塞入。
   否则，说明至少有一个组是和当前区间没有相交部分的，我们就把堆顶元素给去掉，即把最小的最右点更新为当前区间的右端点。
3. heap 的大小就是最小组数。

Tips

• 小根堆的定义：priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> heap; // 从小到大的优先级队列
  此时堆顶元素为最小值。
• 大根堆的定义：priority_queue<int, vector<int>, less<int>> heap; // 从大到小的优先级队列
  把 greater 改成 less，此时堆顶元素为最大值。

代码

#include <queue>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 100010;

int n;
struct Range {
    int l, r;
    bool operator < (const Range& W) const {
        return l < W.l;
    }
} range[N];

int main() {
    cin >> n;
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        int l, r;
        cin >> l >> r;
        range[i] = {l, r};
    }
    sort(range, range + n);
    priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> heap; // 从小到大的优先级队列
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        if(heap.empty() || heap.top() >= range[i].l)   heap.push(range[i].r);
        else {
           heap.pop();
           heap.push(range[i].r);
        }
    }
    cout << heap.size();
    return 0;
}

复杂度分析：

• 时间复杂度：$O(nlo{g}_{2}n)$
• 空间复杂度：$O(n)$