14天阅读挑战赛

前言

这篇文章是《趣学算法》的读书笔记，也对数据结构与算法的初步介绍，阅读这篇文章，你会了解什么才是一个好的算法以及复杂度的定义。

一 什么是好算法？

1.1算法对比

• 写一个算法，计算以下序列之和：
  
• 看到这段代码，你的第一反应可能是利用循环来解决
  让我们看看循环的解法

int sum1(int n)
{
   int sum=0;
   for(int i=1;i<=n;i++)
      sum+=pow(-1,i);//表示（-1）^ i 
   return sum;
}

• 这段代码确实可以算出来，但能否找到更简单的算法呢？
  
• 看一下第二段代码

int sum2(int n)
{
   int sum=0;
   if(n%2==0)
      sum=0;
   else
      sum=-1;
   return sum;
}

• 代码1执行了一个循环，而代码2只利用几个算式就解决了。显然，代码2优于代码1.

1.2算法的特性

算法是对特定问题求解方法的一种描述。

• 算法只是对问题求解方法的一种描述，它不依赖于任何语言，但为了描述方便，更清楚的说明本质——采用“伪代码”来描述算法。
• 算法有以下特性
  1. 有穷性：算法是由若干条指令组成的有穷序列，总是在执行若干次后结束，不可能永不停止。
  2. 确定性：每条语句都有确定的含义，无歧义。
  3. 可行性：算法在当前环境条件下可以通过有限次运算来实现。
  4. 输入/输出：有零个或多个输入以及一个或多个输出。

1.3好算法的标准

“好”算法的标准如下。

1. 正确性:正确性是指算法能够满足具体问题的需求，程序运行正常，无语法错误，能够通过典型的软件测试，达到预期。

2. 易读性:算法遵循标识符命名规则，简洁易懂，注释语句恰当适量，方便自己和他人阅读，便于后期调试和修改。

3. 健壮性:算法对非法数据及操作有较好的反应和处理。例如，在学生信息管理系统中登记学生年龄时，若将21岁误输入为210岁，则系统应该有错误提示。

4. 高效性:高效性是指算法运行效率高，即算法运行所消耗的时间短。

5. 低存储性:低存储性是指算法所需的存储空间小。对于像手机、平板电脑这样的嵌入式设备，算法如果占用空间过大，则无法运行。算法占用的空间大小被称为空间复杂度。

除了(1) ~ (3)中的基本标准之外，好算法的评判标准是高效率、低存储。

二 复杂度

2.1时间复杂度

（1）定义

算法运行需要的时间

• 算法的时间复杂度就是算法运行所需的时间，但是不用秒来计算，因为会受到配置等其它因素的影响。
• 由于相同配置的计算机进行一次基本运算的时间是一定的，因此可以用算法基本运算的执行次数来衡量算法效率，因此我们将算法基本运算的执行次数作为时间复杂度的衡量标准。
• 因为当n趋于无穷大时，函数的大小只与最高项有关，因此小项和常数项可以忽略

（2）如何计算

• 试着计算下面程序的时间复杂度

int findx(int x)
{     //在a[n]数组中顺序查找x
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        if(a[i]==x)
            return i; //查找成功，返回其下标i
    }
    return -1;        //查找失败，返回-1 
}

• 这个程序的执行次数会受到数组a中元素的影响，这时我们一般考虑最坏的情况，也就是执行n次，O(n)。

2.2空间复杂度

（1）定义

空间复杂度:算法占用的空间大小。

• 空间复杂度的本意是指算法在运行过程中占用了多少存储空间。算法占用的存储空间包括:

  1. 输入输出数据;
  2. 算法本身，
  3. 额外需要的辅助空间。

• 输入输出数据占用的空间是必需的，算法本身占用的空间可以通过精简算法来缩减，但缩减的量的，可以忽略不计。算法在运行时所使用的辅助变量占用的空间(即辅助空间)才是衡量算法空间复杂度的关键因素。

（2）如何计算

void swap(int x,int y)
{    //交换x与y 
     int temp;
     temp=x;               //temp为辅助空间 ①
     x=y;                  //②
     y=temp;               //③
}

• 使用辅助空间temp，空间复杂度是O(1)。

注意：在递归算法中，每一次递推都需要一个栈空间来保存调用记录，因此分析空间复杂度时，需要计算递归栈的辅助空间。

int fac(int n)
{ //计算n的阶乘
    if(n==0||n==1) 
        return 1; 
    else 
        return n*fac(n-1); 
}

• 用图来解释递推过程
  
• 显然，递推几次就需要几个备用空间，因此空间复杂度是O(n)

最后

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