前言

之前在推荐排序上开发的一个算法，取得了不错的效果。其中就用到了图神经网络模块，该模块的一部分思想源于GraphSage和GATs，因此对GATs的算法及代码理解还是比较深的，上一篇博文介绍了GraphSage：《GraphSage -《Inductive Representation Learning on Large Graphs》论文详解》，本文对GATs算法部分进行剖析。

GATs的核心思想就是 加权聚合周围邻居的信息。其原理与GraphSage的Mean aggregator基本一致，只是作者增加了一些Tricks。

正文

图注意力机制层(Graph Attentional Layer)

层的输入

层的输入是节点特征的集合：
h = { h ⃗ 1 , h ⃗ 2 , … , h ⃗ N } , h ⃗ i ∈ R F \bold{h}=\{\vec{h}_1,\vec{h}_2,\ldots,\vec{h}_N\},\vec{h}_i\in\mathbb{R}^F h={h 1​,h 2​,…,h N​},h i​∈RF 其中， $N$ 是节点个数，$F$ 是每个节点输入的特征维度。

注意力系数

注意力系数是每两个直接邻居节点之间的权重，包括节点本身的注意力系数。（作者表示，使用直接邻居而不是整个图的两个节点之间求注意力系数，相当于注入了结构信息。）

$$\begin{array}{r}{e}_{ij}=a(\mathbf{W}{\vec{h}}_i,\mathbf{W}{\vec{h}}_j)=LReLU({\vec{a}}^T[\mathbf{W}{\vec{h}}_i\Vert \mathbf{W}{\vec{h}}_j])\end{array}$$ 其中，${\overrightarrow{a}}^T\in {\mathbb{R}}^{2F^{\prime }}$，为全连接层 $a$ 的参数；$\mathbf{W}\in {\mathbb{R}}^{F^{\prime }\times F}$ 是对节点特征的一个线性变换的参数，目的是为了增强表达能力；$\Vert$ 是concat操作；(1)式的结果生成的注意力系数 $e_{ij}\in \mathbb{R}$，图示如下：

$e_{ij}$ 表示节点 $j$ 的特征对节点 $i$ 的重要性。

归一化注意力系数

为了使系数在不同节点之间易于比较，对注意力系数进行归一化。
$$\begin{array}{r}{\alpha }_{ij}=softma{x}_j(e_{ij})=\frac{exp(e_{ij})}{{\sum }_{k\in {\mathcal{N}}_i}exp(e_{ik})}\end{array}$$ 其中，${\mathcal{N}}_i$ 是节点 $i$ 的直接邻居节点集合。(2)式表示对节点 $i$ 的直接邻居节点之间进行归一化。

综合(1)式可得归一化注意力系数的表达式为：
$$\begin{array}{r}{\alpha }_{ij}=\frac{exp(LReLU({\vec{a}}^T[\mathbf{W}{\vec{h}}_i\Vert \mathbf{W}{\vec{h}}_j]))}{{\sum }_{k\in {\mathcal{N}}_i}exp(LReLU({\vec{a}}^T[\mathbf{W}{\vec{h}}_i\Vert \mathbf{W}{\vec{h}}_k]))}\end{array}$$

通过邻居节点更新自身节点

这里使用过注意力机制，对邻居进行加权求和，然后聚合到自己身上，其原理与GraphSage基本一致，只是作者做了一些trick。

1. 加权求和
   $$\begin{array}{r}{\vec{h}}_i^{\prime }=\sigma \left(\sum _{j\in {\mathcal{N}}_i}{\alpha }_{ij}\mathbf{W}{\vec{h}}_j\right)\end{array}$$ 从上式可以看到，Attention的K,Q,V均来自输入节点，因此GATs的Attention是Self-Attention。

2. Multi-head Attention
   使用 Multi-head 可以稳定 Self-Attention 的学习过程，然后将每个 head 的输出进行concat。
   $$\begin{array}{r}{\vec{h}}_i^{\prime }={\Vert }_{k=1}^K\sigma \left(\sum _{j\in {\mathcal{N}}_i}{\alpha }_{ij}^k{\mathbf{W}}^k{\vec{h}}_j\right)\end{array}$$ 其中，$\Vert$ 是concat操作，${\alpha }_{ij}^k$ 由第 $k$ 个注意机制计算的归一化注意力系数；由于是concat，因此 ${\vec{h}}_i^{\prime }\in {\mathbb{R}}^{K{F}^{\prime }}$ 。
   在Transformer的Multi-Head Attention中，对拼接起来的Attention结果，使用一个线性变换再变化原来的维度。
   作者认为在在网络的最终（预测）层concat多头注意力结果不合理，因此作者对多头进行了平均：
   $$\begin{array}{r}{\vec{h}}_i^{\prime }=\sigma \left(\frac{1}{K}\sum _{k=1}^K\sum _{j\in {\mathcal{N}}_i}{\alpha }_{ij}^k{\mathbf{W}}^k{\vec{h}}_j\right)\end{array}$$ 生成注意力系数及Multi-head Attention的解释如下图：
   
   右图中不同颜色表示不同的head，一共有三个head。

层的输出

输出节点也是节点特征的集合：
h ′ = { h → 1 ′ , h → 2 ′ , … , h → N ′ } , h → i ′ ∈ R F ′ \bold{h}'=\{\overrightarrow{h}_1',\overrightarrow{h}_2',\ldots,\overrightarrow{h}_N'\},\overrightarrow{h}_i'\in\mathbb{R}^{F'} h′={h 1′​,h 2′​,…,h N′​},h i′​∈RF′ $F^{\prime }$ 是每个节点输出的特征维度。

附作者简介

Petar Velickovic： 佩塔尔·维利奇科维奇，DeepMind的研究员，剑桥大学的附属讲师，剑桥大学克莱尔霍尔的副研究员，研究涉及几何深度学习，由于Petar的突出贡献，被公认为几何深度学习计划中的ELLIS学者。Petar 拥有剑桥大学（三一学院）的计算机科学博士学位。
Guillem Cucurull： 吉列姆·库库尔，Blue Prism研究工程师，从事机器学习和计算机视觉方面的工作。
Arantxa Casanova：蒙特利尔综合理工大学/蒙特利尔学习算法研究所博士生。目前在FAIR, Meta AI工作。
Adriana Romero：Meta AI的研究科学家，也是麦吉尔大学的兼职教授。研究重点是开发能够从多模态数据中学习的算法，推理概念关系，并利用主动和自适应数据采集策略。
Pietro Lio：剑桥大学计算机科学与技术系的正教授、人工智能小组的成员、剑桥人工智能医学中心的成员。研究兴趣集中在开发人工智能和计算生物学模型，以了解疾病的复杂性并解决个性化和精准医学问题。目前的重点是图神经网络建模。Pietro Lio拥有剑桥大学的硕士学位，复杂系统和非线性动力学博士学位（意大利佛罗伦萨大学信息学院工程系）和（理论）遗传学博士学位（意大利帕维亚大学）。
Yoshua Bengio：大牛！